Question

11．已知2x+3y+4z=10，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 法1：本题可先利用三个变量x，y，z的关系消去一个变量，如消去x，得到两个变量y，z，再通过配方，利用完全平方非负，得到所求代数式的最小值．
法2：利用柯西不等式进行求解．

解答 解：法1：∵2x+3y+4z=10，
∴$x=5-\frac{3}{2}y-2x$．
∴x²+y²+z²
=$（5-\frac{3}{2}y-2z）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}$
=$\frac{13}{4}{y}^{2}+5{z}^{2}+6zy-15y-20x+25$
=$\frac{13}{4}{y}^{2}+（6z-15）y+5{z}^{2}-20z+25$
=$\frac{13}{4}[y+\frac{2（6z-15）}{13}]^{2}+\frac{29}{13}{z}^{2}-\frac{80}{13}z+\frac{100}{13}$
=$\frac{13}{4}（y+\frac{12z-30}{13}）^{2}+\frac{29}{13}（z-\frac{40}{29}）^{2}+\frac{100}{29}$
$≥\frac{100}{29}$．
法2：由柯西不等式可得，（2x+3y+4z）²≤（x²+y²+z²）（2²+3²+4²），
由条件可得，x²+y²+z²≥$\frac{100}{29}$．
 故最小值为$\frac{100}{29}$．

点评 本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．