Question

2．为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的节排器，分别从甲、乙两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的概率分布直方图如图所示．
节排器等级及利润率如表所示（$\frac{1}{10}$＜a＜$\frac{1}{6}$）．

综合得分k的取值范围	节排器等级	节排器利润率
k≥85	一级品	a
75≤k＜85	二级品	5a2
70≤k＜75	三级品	a2

（1）视概率分布直方图中的频率为概率，则
①若从甲型号节排器中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；
②若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望Eξ；
（2）从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润率较大？

Answer 1

分析 （1）（i）先根据频率分布直方图分析相应的数据，从而确定抽取的样本中各等级节排器的数量，然后利用古典概型的概率计算公式及对立事件的概率计算公式求解所求事件的概率；（ii）首先确定二级品数ξ所有可能的取值及其相应的概率，列出分布列，并求数学期望Eξ．
（2）分别求出甲、乙两型号节排器的利润率的平均值，然后进行比较即可．

解答 解：（1）①由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号节排器中的一级品的概率为$\frac{3}{5}$，二级品的概率为$\frac{2}{5}$，
则用分层抽样的方法抽取的10件甲型号节排器中有6件一级品，4件二级品，
∴从这10件节排器中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率$P=1-\frac{C_4^3+C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}=\frac{2}{3}$．  …（4分）
②由已知及频率分布直方图中的信息知，
乙型号节排器中的一级品的概率为$\frac{7}{10}$，二级品的概率为$\frac{1}{4}$，三极品的概率为$\frac{1}{20}$，
若从乙型号节排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），
∴$P（{ξ=0}）=C_3^0{（{\frac{3}{4}}）^3}×{（{\frac{1}{4}}）^0}=\frac{27}{64}$，
$P（{ξ=1}）=C_3^1{（{\frac{3}{4}}）^2}×{（{\frac{1}{4}}）^1}=\frac{27}{64}$，
$P（{ξ=2}）=C_3^2{（{\frac{3}{4}}）^1}×{（{\frac{1}{4}}）^2}=\frac{9}{64}$，
$P（{ξ=3}）=C_3^3{（{\frac{3}{4}}）^0}×{（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{1}{64}$．
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

数学期望$Eξ=0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$（或$Eξ=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$）．…（8分）
（2）由题意知，甲型号节排器的利润率的平均值：
E_甲=$\frac{3}{10}a+$$\frac{2}{5}×5{a}^{2}$=2a²+$\frac{3}{5}$a，
乙型号节排器的利润率的平均值：
E_乙=$\frac{7}{10}a+\frac{1}{4}×5{a}^{2}+\frac{1}{20}{a}^{2}$=$\frac{13}{10}{a}^{2}+\frac{7}{10}a$，E_甲-E_乙=$\frac{7}{10}{a}^{2}-\frac{1}{10a}$=$\frac{7}{10}a（a-\frac{1}{7}）$，
又$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{6}$，
因而当$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{7}$时，投资乙型号节排器的平均利润率较大；
当$\frac{1}{7}＜a＜\frac{1}{6}$时，投资甲型号节排器的平均利润率较大；
当a=$\frac{1}{7}$时，投资两种型号节排器的平均利润率相等．…（12分）

点评 本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，频率分布直方图，分层抽样，古典概型、对立事件概率的求解等知识，考查考生基本的运算能力和逻辑推理能力．