Question

7．已知矩形的两相邻边长为tan$\frac{θ}{2}$和1+cosθ，且对于任何实数x，f（x）=sinθ•x²+$\root{4}{3}$x+cosθ≥0恒成立，则此矩形的面积（　　）

• A． 有最大值1，无最小值
• B． 有最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值$\frac{1}{2}$
• C． 有最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，无最大值
• D． 有最大值1，最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得即2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z ①，kπ+$\frac{π}{6}$≤θ≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z ②，从而得到θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，∴sinθ的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值为$\frac{1}{2}$．再化简此矩形的面积，从而得出结论．

解答 解：∵矩形的两相邻边长为tan$\frac{θ}{2}$和1+cosθ，∴tan$\frac{θ}{2}$＞0，cosθ≠-1，kπ＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z  ①．
∵对于任何实数x，f（x）=sinθ•x²+$\root{4}{3}$x+cosθ≥0恒成立，
∴△=$\sqrt{3}$-4sinθcosθ≤0，即 sin2θ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{3}$≤2θ≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，∴kπ+$\frac{π}{6}$≤θ≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z ②．
由①②可得，θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，∴sinθ的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值为$\frac{1}{2}$．
∵此矩形的面积为S=tan$\frac{θ}{2}$•（1+cosθ）=$\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$•2${cos}^{2}\frac{θ}{2}$=sinθ，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，解关于三角函数的不等式，属于中档题．