Question

已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行．

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)设,其中为的导函数．证明:对任意．

 

Answer 1

(Ⅰ)1

(Ⅱ)在区间内为增函数;在内为减函数．

(Ⅲ)见解析．

【解析】(Ⅰ)由f(x)=可得,而,即,解得k=1．

(Ⅱ),令可得x=1,

当时,;当时,．于是在区间内为增函数;在内为减函数．(Ⅲ),(1)当时, ,．(2)当时,要证．只需证即可设函数

则,则当时．

令解得,当时;当时,则当时,且,则,于是可知当时成立综合(1)(2)可知对任意x＞0,恒成立．另证1:设函数,则,则当时,于是当时,要证,只需证即可,设,,令解得,当时;当时,则当时,于是可知当时成立综合(1)(2)可知对任意x＞0,恒成立．另证2:根据重要不等式当时,即,于是不等式,设,,令解得,当时;当时,则当时,于是可知当时，成立．