Question

直线ax-2y-2a+4=0被圆x²+y²-2x-8=0所截得弦长范围是

[4，6]

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再将直线变形后，得出此直线恒过B（2，2），利用两点间的距离公式求出|AB|的长，发现其值小于半径，故判断出点B在圆内，进而得到过B最长的弦为直径；最小的弦长为与此直径垂直的弦长，由此时直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出最小弦长所在直线的斜率，由B及求出的斜率写出此弦所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心A到此直线的距离d，由半径r及d，利用垂径定理及勾股定理即可求出此时的弦长，即为弦长的最小值，综上，得到直线被圆截得弦长的范围．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+y²=9，
∴圆心坐标A为（1，0），半径r=3，
直线ax-2y-2a+4=0变形为：a（x-2）-2y+4=0，
∴该直线恒过B（2，2），
∵B（2，2）到圆心A（1，0）的距离|AB|=

(2-1)2+22

=

5

＜3=r，
∴B（2，2）在圆内，
当直线过圆心A时，所截得的弦为直径，此时弦长最大为6；
当直线所截得的弦与过B的直径垂直时，此时弦长最小，
∵直线AB的斜率为

2-0

2-1

=2，
∴弦长最小时，弦所在直线的斜率为-

1

2

，又该弦过B点，
∴该直线的方程为y-2=-

1

2

（x-2），即x+2y-6=0，
∴圆心A到该直线的距离d=

5

5

=

5

，
∴该直线被圆截得的弦长为2

r2-d2

=2

9-5

=4，
则直线ax-2y-2a+4=0被圆x²+y²-2x-8=0所截得弦长范围是[4，6]．
故答案为：[4，6]

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，恒过定点的直线方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，其中根据题意找出弦长的最大值与最小值是解本题的关键．