题目内容
8．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|（t∈R）的最小值为$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（ ）| A． | 30° | B． | 60° | C． | 30°或150° | D． | 60°或120° |
分析 由题意把|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|化为$|\overrightarrow{a}|t$ 的二次函数，结合最小值为$\sqrt{3}$求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值，则答案可求．
解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，∵|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$|\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}|=\sqrt{（\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}-2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{t}^{2}-4|\overrightarrow{a}|tcosθ+4}$，
则当$|\overrightarrow{a}|t=2cosθ$时，有4cos2θ-8cos2θ+4=3，
即$cosθ=±\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ的取值范围是[0，π]，
∴θ=60°或120°．
故选：D．
点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是中档题．
练习册系列答案
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