Question

4．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求使f（x）+f（x-3）＜2的x的取值范围．

Answer 1

分析 根据抽象函数的关系，将不等式进行转化，结合函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2，
即f（4）=2，
则f（x）+f（x-3）＜2等价为f[x（x-3）]＜f（4），
∵函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）＜4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{-1＜x＜4}\end{array}\right.$，即3＜x＜4，
即f（x）+f（x-3）＜2的x的取值范围是（3，4）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数的关系，利用转化法将不等式进行求解是解决本题的关键．