题目内容

1．在平面直角坐标系中．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C：pcos2θ=2asinθ（a＞0）过点P（-4，-2）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）直线l与曲线C分别交于点M，N．
（1）写出C的直角坐标方程和l的普通方程；
（2）若丨PM丨，丨MN丨，丨PN丨成等比数列，求a的值．

分析 （1）利用所给方程的特点结合题意整理为直角坐标方程和普通方程即可；
（2）联立直线的参数方程与C的直角坐标方程，结合韦达定理和等比数列的性质即可求得最终结果．

解答 解：（1）曲线C的直角坐标方程为x=2ay（a＞0），
直线l的普通方程为x-y+2=0．
（2）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2-2$\sqrt{2}$（4+a）t+8（4+a）=0．
由△=8a（4+a）＞0，
可设点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1，t2是方程（*）的根，
则丨PM丨=丨t1丨，丨PN丨=丨t2丨，丨MN丨=丨t1-t2丨．
由题设得（t1-t2）2=丨t1t2丨，即（t1-t2）2-4t1t2=丨t1t2丨．
由（*）得t1+t2=2$\sqrt{2}$（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，
则有（4+a）2-5（4+a）=0，解得a=1或a=-4．
因为a＞0，则a=1．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

练习册系列答案
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