Question

18．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为$\sqrt{3}$，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和（$\widehat{GF}$+$\widehat{EF}$）等于$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和．

解答 解：如图，球面与正方体的六个面都相交，
所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA₁=$\sqrt{3}$，
则∠A₁AE=$\frac{π}{6}$．同理∠BAF=$\frac{π}{6}$，所以∠EAF=$\frac{π}{6}$，
故弧EF的长为：2×$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
而这样的弧共有三条．
在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=$\frac{π}{2}$，
所以弧FG的长为：1×$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$．
于是，所得的曲线长为$\widehat{GF}$+$\widehat{EF}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$=$\frac{5π}{6}$．
故答案为：$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查空间几何的性质和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．