Question

7．己知集合A={x|x²+3x+2≤0}，B={x|ax²+（a²-1）x-a＞0}，且A⊆B，实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对a分类讨论，利用一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法可得可得集合B，根据集合之间的关系即可得出．

解答 解：由x²+3x+2≤0，解得-2≤x≤-1．∴A=[-2，-1]．
对于集合B：当a=0时，ax²+（a²-1）x-a＞0化为：x＜0，∴B=（-∞，0），满足A⊆B．
当a≠0时，ax²+（a²-1）x-a＞0化为（ax-1）（x+a）＞0．
a＞0时，解得x＞$\frac{1}{a}$，或x＜-a，∴B={x|x＞$\frac{1}{a}$，或x＜-a，a＞0}，
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-1＜-a}\end{array}\right.$，解得a＞1．
a＜0时，解得-a＞x＞$\frac{1}{a}$，∴B={x|-a＞x＞$\frac{1}{a}$，a＜0}，∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1}{a}＜-2}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}$＜a＜0．
综上可得：实数a的取值范围是$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．