Question

6．已知$|{\overrightarrow a}|=4，|{\overrightarrow b}|=3，（{2\overrightarrow a-3\overrightarrow b}）（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=61$．
（1）求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$；
（2）若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b$，求向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上方向上的投影；
（3）已知$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$成钝角，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
（2）由向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上方向上的投影为$\frac{-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，计算即可得到所求值；
（3）由两向量的夹角为钝角的条件：数量积小于0，且不共线，化简整理解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，
可得4$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{b}$²=4×16-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3×9=61，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6，
则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{16-12+9}$=$\sqrt{13}$；
（2）向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上方向上的投影为$\frac{-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6}{3}$=2；
（3）由$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$成钝角，可得（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）•（$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$）＜0，且$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$不共线，
可得t$\overrightarrow{a}$²+（1-t）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{b}$²=16t-6（1-t）-9＜0，解得t＜$\frac{15}{22}$，
又且$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$共线，可得$\overrightarrow a-\overrightarrow b$=m（$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$），
即为1=mt，-1=m，解得t=-1．
则实数t的取值范围是t＜$\frac{15}{22}$且t≠-1．

点评 本题考查向量数量积的定义和性质及投影的概念，考查向量的平方即为模的平方，以及化简整理的运算能力，属于中档题．