Question

15．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点，BC⊥CD．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求证：平面ACD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理可得MN∥CD，因此∠BCD是直线MN与BC所成的角．即可得出．
（2）由AB⊥平面BCD，可得AB⊥CD．而BC⊥CD，可得CD⊥面ABC．即可证明．

解答 解：（1）∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN∥CD．
∴∠BCD是直线MN与BC所成的角．
又∵BC⊥CD，
直线MN与BC所成的角为90°．
（2）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?面BCD，
∴AB⊥CD．
而BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥面ABC．
又∵CD?面ACD，
平面ACD⊥平面ABC．

点评 本题考查了空间线面位置关系、空间角、三角形中位线定理、线面面面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．