Question

18．已知g（x）是各项系数均为整数的多项式，f（x）=2x²-x+1，且满足f（g（x））=2x⁴+4x³+13x²+11x+16，则g（x）的各项系数之和为5．

Answer 1

分析 先g（x）=x²+ax+b，进而可知g（x）的各项系数和为1+a+b=g（1），根据题意根据2[g（1）]²-g（1）-45=0求得g（1），则答案可得．

解答 解：f（g（x））=2[g（x）]²-g（x）+1=2x⁴+4x³+13x²+11x+16，
依题意，可设g（x）=x²+ax+b，
∴g（x）的各项系数和为1+a+b=g（1）；而2[g（1）]²-g（1）+1=2•1⁴+4•1³+13•1²+11•1+16，
∴2[g（1）]²-g（1）-45=0．
∴g（1）=-$\frac{9}{2}$或5
∵g（x）是各项系数均为整数的多项式，故g（1）不可能是分数，舍去-$\frac{9}{2}$，
∴g（1）=5，
∴g（x）的各项系数之和为5．
故答案为：5

点评 函数是高中数学的一条主线，因而在高考中占有极其重要的地位．本题是函数符号运用的综合题，需要学生具有一定的探究和想象能力．