Question

17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若经过左焦点F₁且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出椭圆方程，结合已知列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出两交点的横坐标的和与积，代入弦长公式得答案．

解答 解：（I）由题意设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由已知得：a+c=3，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由已知得直线l的方程为y=x+1，
与椭圆方程联立，可得7x²+8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}-4•（-\frac{8}{7}）}=\frac{24}{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．