Question

设函数.

（1）若求的单调区间及的最小值；

（2）若,求的单调区间；

（3）试比较与的大小.其中,并证明你的结论.

 

Answer 1

（1）当时,的增区间为,减区间为,；（2）当时, 的递增区间是,递减区间是;当,的递增区间是,递减区间是；（3）由（1）可知,当时,有即

=.

【解析】

试题分析：（1）先求出导函数，解不等式和，判断函数的单调性即可；

（2）先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，从导函数的二次项系数的正负；根据导函数根的大小，进行分类讨论；最后判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性.

（3）将比较所给的两个式子的大小关系，关键是要根据第（1）小问的结论适当的赋特值，建立不等关系：

.然后根据该不等放缩求和即可得出两者的大小关系.

试题解析：（1）

当时, 在区间上是递增的.

当时, 在区间上是递减的.

故当时,的增区间为,减区间为,.

（2）若,当时,

则在区间上是递增的;

当时,, 在区间上是递减的.

若,当时,

则在区间上是递增的, 在区间上是递减的;

当时,, 在区间上是递减的,而在处有意义; 则在区间上是递增的,在区间上是递减的.

综上: 当时, 的递增区间是,递减区间是;当,的递增区间是,递减区间是.

（3）由（1）可知,当时,有即

=.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.