题目内容
1．设D，E分别为线段AB，AC的中点，且$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，记α为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角，则下述判断正确的是（ ）| A． | cosα的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | cosα的最小值为$\frac{1}{3}$ | ||
| C． | sin（2α+$\frac{π}{2}$）的最小值为$\frac{8}{25}$ | D． | sin（$\frac{π}{2}$-2α）的最小值为$\frac{7}{25}$ |
分析 由题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得 $\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=0，两个向量的数量积的定义化简求得2AB2+2AC2=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，求得cosα≥$\frac{4}{5}$，检验各个选项，得出结论．
解答 解：∵D，E分别为线段AB，AC的中点，∴BD CD分别为△ABC的中线．
∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，记α为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角，
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{4}$（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-2$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AB}$-2$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-2${\overrightarrow{AC}}^{2}$-2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+4$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ ）=0，
∴2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2${\overrightarrow{AC}}^{2}$=5$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，即 2AB2+2AC2=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，
∴cosA≥$\frac{4}{5}$，即cosα≥$\frac{4}{5}$，故排除A、B；
∵sin（2α+$\frac{π}{2}$）=cos2α=2cos2α-1≥$\frac{7}{25}$，故排除C；
∵sin（$\frac{π}{2}$-2α）=cos2α=2cos2α-1≥$\frac{7}{25}$，故D满足条件，
故选：D．
点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | 2$\sqrt{5}$ | C． | 2$\sqrt{10}$ | D． | 2$\sqrt{15}$ |