Question

11．设$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$为单位向量，且$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，若$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{e_1}$+3$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=2$\overrightarrow{e_1}$，则|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|等于3$\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量的运算和向量模的即可求出，利用向量在向量方向上的投影公式求得答案．

解答 解：∵设$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$为单位向量，且$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{e_1}$+3$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=2$\overrightarrow{e_1}$，
∴|$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$|²=$\overrightarrow{e_1}$²+$\overrightarrow{e_2}$²+|$\overrightarrow{e_1}$||$\overrightarrow{e_2}$|cos60°=1+1+1=3，
∴|$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$|=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=3$\overrightarrow{e_1}$+3$\overrightarrow{e_2}$=3（$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$），
∴|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{e_1}$+3$\overrightarrow{e_2}$）•2$\overrightarrow{e_1}$=6$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$+2$\overrightarrow{e_1}$²=6×1×1×$\frac{1}{2}$+2=5，|$\overrightarrow b$|=|2$\overrightarrow{e_1}$|=2，
∴向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$3\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．