Question

9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点Q，AC平分∠DAB，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．
（1）求证：PQ²=PD•PB；
（2）若AB=4，AP=3，AD=$\frac{3}{2}$，求AQ的长．

Answer 1

分析 （1）由已知可证∠PAD=∠ABD，进而可证PAQ=∠AQP，可得PA=PQ，利用切割线定理即可得证．
（2）先求△PAD∽△PBA，从而可得PB，由切割线定理可求PD，进而可求AQ=DQ=PA-PD的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵PA为圆的切线，∴∠PAD=∠ABD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠CAD…2分
∴∠PAD+∠DAC=∠BAC+∠ABD，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴PA=PQ，…4分
∵PA为圆的切线，∴PA²=PD•PB，∴PQ²=PD•PB…5分
（2）∵△PAD∽△PBA，
∴$\frac{PA}{AD}=\frac{PB}{AB}$，∴PB=$\frac{12}{\frac{3}{2}}$=8，…7分
∵PA²=PD•PB，∴PD=$\frac{9}{8}$，…8分
∴AQ=DQ=PA-PD=3-$\frac{9}{8}$=$\frac{15}{8}$．…10分

点评 本题主要考查了三角形相似的性质，切割线定理的应用，考查了数形结合与转化思想，考查了计算能力，属于中档题．