Question

如图，已知A（-4,0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足·=0, =.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)设过点A的直线与点P的轨迹交于E、F两点，A′（4,0)，求直线A′E,A′F的斜率之和.

Answer 1

解：（1）设P（x，y）是曲线上的任意一点，因为=，所以B（0，-y）.

又有A（-4，0），所以=（4，-y），=（x,2y）.

由已知·=0，则4x-2y²=0,y²=2x.

所以P点的轨迹方程为y²=2x.

(2)设过点A的直线方程为y=k(x+4)(k≠0),E(x₁,y₁),F(x₂,y₂).k_A′E=,k_A′F=.

联立方程

消去x得y²-y+4k=0,

由韦达定理得y₁y₂=8,y₁+y₂=.

k_A′E+k_A′F

因为y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,所以x₁=,x₂=,k_A′E+k_A′F=

=.

因为y₁y₂=8,所以k_A′E+k_A′F=0.