Question

18．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的直角坐标方程为y²=2x．
（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；
（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，证明|AB|≥2．

Answer 1

分析 （1）由y²=2x得准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，即可求抛物线C的准线的极坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入y²=2x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．

解答 解：（1）由y²=2x得准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，
所以抛物线C的准线的极坐标方程为ρcosθ=-$\frac{1}{2}$．
（2）将直线l的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则
t₁+t₂=$\frac{2cosα}{sin2α}$，t₁t₂=-$\frac{1}{sin2α}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{2}{sin2α}$，当α=$\frac{π}{2}$，|AB|取最小值2，
∴|AB|≥2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于基础题．