Question

14．某外商到一开防区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜投入50万美元．
（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）试计算第几年平均获取纯利润最大．

Answer 1

分析 由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f（n），则由求和公式得到f（n）=-2n²+40n-72；
（1）令f（n）＞0，解出n即可判断；
（2）由年平均利润$\frac{y}{n}=-（2n+\frac{72}{n}）+40≤16$，即可求得最大值及n的值；

解答 解：设第n年的利润为y，
（1）y=50n-72-[12+16+…+4（n-1）]=-2n²+40n-72，
令y＞0，得2＜n＜18，
∴第3年开始获取纯利润．
（2）∵$\frac{y}{n}=-（2n+\frac{72}{n}）+40≤16$当且仅当$2n=\frac{72}{n}$即“n=6”时取“=”，
∴第6年年平均获利最大．

点评 本题考查等差数列的应用题，考查等差数列的求和公式，考查运用基本不等式和二次函数的知识求最值，属于中档题和易错题．