Question

14．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=CC₁=1，点P是CD上的一点，PC=λPD．
（Ⅰ）若A₁C⊥平面PBC₁，求λ的值；
（Ⅱ）设λ₁=1，λ₂=3所对应的点P为P₁，P₂，二面角P₁-BC₁-P₂的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：若A₁C⊥PB，则A₁C⊥平面PBC₁，只要AC⊥PB即可，由此能求出结果．
法二：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出结果．
（Ⅱ）过C作CH⊥BC₁交BC₁于H，连接P₁H，P₂H，则∠P₁HP₂就是所求二面角的一个平面角θ，由此能求出cosθ．

解答 解：（Ⅰ）解法一∵A₁C⊥BC₁
若A₁C⊥PB，则A₁C⊥平面PBC₁，只要AC⊥PB即可，
在矩形ABCD中，$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AB}$，解得$CP=\frac{1}{2}$，$λ=\frac{1}{3}$；
解法二：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，
建立如图空间直角坐标系O-xyz，
B（1，2，0），C₁（0，2，1），A₁（1，0，1），C（0，2，0），
设$P（0，\frac{2}{1+λ}，0）$，
若A₁C⊥平面PBC₁，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，2，-1），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BP}$=（-1，$\frac{2}{1+λ}$-2，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BP}=1+\frac{4}{1+λ}-4=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=1+0-1=0}\end{array}\right.$，解得$λ=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）过C作CH⊥BC₁交BC₁于H，连接P₁H，P₂H，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=CC₁=1，
∴BH=C₁H，P₁B=P₁C₁，P₂B=P₂C₁，
∴P₂H⊥BC₁，P₁H⊥BC₁，
则∠P₁HP₂就是所求二面角的一个平面角θ
∵P₁C=1，${P_2}C=\frac{3}{2}$，$CH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴$tan∠{P_1}HC=\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，$tan∠{P_2}HC=\sqrt{2}$tanα=tan（∠P₂HC-∠P₁HC）=$\frac{{\sqrt{2}}}{8}$，
所求余弦值cosθ=$\frac{{4\sqrt{2}}}{{\sqrt{33}}}$．

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．