Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是PA，PD，AB的中点．
（1）求直线AH与平面EFH所成角的大小；
（2）求二面角H-EF-A的大小．

Answer 1

分析 （1）以{$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$}为正交基底向量建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出直线AH与平面EFH所成角的大小．
（2）求出平面HEF的一个法向量和平面AEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角H-EF-A的大小．

解答 解：（1）以{$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$}为正交基底向量建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0），
$\overrightarrow{AH}$=（1，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，1，0），$\overrightarrow{EH}$=（1，0，-1），
设平面EFH的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EH}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
设直线AH与平面EFH所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{AH}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AH与平面EFH所成角的大小为$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）知平面HEF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵二面角H-EF-A为锐二面角，∴二面角H-EF-A的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线面角的求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．