Question

16．函数$f（x）=x+2cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]$的最大值为$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令导数为0，可得极值点，求出单调区间，可得极大值，且为最大值．

解答 解：函数$f（x）=x+2cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]$的导数为f′（x）=1-2sinx，
由1-2sinx=0，解得x=$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）在x=$\frac{π}{6}$处取得极大值，且为最大值$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．