Question

18．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠ABC=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB=2，动点E和F分别在线段BC和DC上，且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{2λ}$$\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的最小值为4$\sqrt{6}$-13．

Answer 1

分析 由题意可得 $\overrightarrow{DC}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CF}$），进一步化为  $\frac{4}{λ}$+6λ-13，再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．

解答 解：由题意可得CD=AB-2BC•cos60°=4-2=2，∴$\overrightarrow{DC}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CF}$）=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{FC}$）=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•[$\overrightarrow{BC}$-（$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{DF}$）]=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2λ}$$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{DC}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2λ}$•$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$-$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$）=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1-2λ}{4λ}$•$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1-2λ}{4λ}$•${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（1+$\frac{1-2λ}{4}$）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+λ${\overrightarrow{BC}}^{2}$
=$\frac{1-2λ}{4λ}$•16+（1+$\frac{1-2λ}{4}$）•4•2•cos120°+λ•4=$\frac{4}{λ}$+6λ-13≥2$\sqrt{24}$-13=4$\sqrt{6}$-13，
当且仅当 $\frac{4}{λ}$=6λ时，取等号，故$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的最小值为4$\sqrt{6}$-13，
故答案为：4$\sqrt{6}$-13．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，基本不等式的应用，属于中档题．