Question

7．已知函数f（x）=m-|x-3|，不等式f（x）＞1的解集为（1，5）；
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式|x-a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由m-|x-3|＞1，得4-m＜x＜m+2，根据不等式的解集求出m的值即可；（2）问题等价于|a-3|≥3恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=m-|x-3|，
∴不等式f（x）＞1，即m-|x-3|＞1，
∴4-m＜x＜m+2，由不等式f（x）＞1的解集为（1，5）；
则$\left\{\begin{array}{l}{4-m=1}\\{m+2=5}\end{array}\right.$，
解得：m=3；
（2）关于x的不等式|x-a|≥f（x）恒成立
?关于x的不等式|x-a|≥3-|x-3|恒成立
?|x-a|+|x-3|≥3恒成立?|a-3|≥3恒成立，
由a-3≥3或a-3≤-3，
解得：a≥6或a≤0，
即a∈（-∞，0]∪[6，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．