Question

10．已知函数f（x）=2asin²x+2sinxcosx-a，（a为常数）的图象过点$（0，-\sqrt{3}）$．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{1}{2}m$个单位后（作长度最短的平移），其图象关于y轴对称，求出m的值．

Answer 1

分析 （1）求出a的值，求出函数的解析式，从而求出函数f（x）的值域；
（2）根据函数图象的平移得到平移后的解析式，结合函数的对称性，求出m的值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的图象过点$（0，\sqrt{3}）$，
∴$-\sqrt{3}=2a{sin^2}0+2sin0cos0-a$，
∴$a=\sqrt{3}$，
∴$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∵$-1≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，∴函数f（x）的值域为[-2，2]．
（2）由$y=2sin[2（x-\frac{1}{2}m）-\frac{π}{3}]=2sin（2x-m-\frac{π}{3}）$，
即函数$y=2sin（2x-m-\frac{π}{3}）$的图象关于y轴对称，则必有-m-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
∴要使|m|最小，则当k=-1时，$m=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了求三角函数的解析式问题，考查函数的单调性以及函数值域问题，是一道中档题．