Question

6．已知函数f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|，其中x＞0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，b （ 0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域和值域都是[a，b]若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由；
（3）若存在实数a，b （ 0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域是[0，b]，值域是[ma，mb]（ m≠0 ），求实数 m的范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值依据图象求解；
（2）（3）问都是根据函数的单调性、定义域、值域的关系，转化为根的分布求解．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}…（x＞1）}\\{\frac{1}{x}-1…（0＜x＜1）}\end{array}\right.$
（1））．∵0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增
f（x）的单调减区间：（0，1），单调增区间：（1，+∞）；
（2）．由函数图象知，0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增
∴有两种可能情况：0＜a＜1＜b或1＜a＜b
当0＜a＜1＜b时，因f（1）=0，故值域为[0，b]，与值域为[a，b]相矛盾（a＞0）
当1＜a＜b时，由图象知，f（a）＜1　f（b）＜1
另一方面，由y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]得：$1-\frac{1}{a}=a$，$1-\frac{1}{b}=b$
∴a，b是方程1-$\frac{1}{x}$=x的两个大于1的实根，又因为方程程1-$\frac{1}{x}$=x没有两个大于1的实根，
所以不存在实数a，b （ 0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域和值域都是[a，b]；
（3）∵函数f（x）的值域为[0，+∞）∴m＞0，ma＞mb，∴1＜a＜b，
要使函数f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]，则$1-\frac{1}{a}=ma，1-\frac{1}{b}=mb$，
即方程$1-\frac{1}{x}=mx$有两个大于1的实根，
方程mx²-x+1=0有两个大于1的不等实根，$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$⇒0＜m＜$\frac{1}{4}$
所以实数的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题实际上是考查了分段函数的图象与性质，及一元二次方程根的分布，属于中档题．