Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则异面直线A₁C₁与AB₁间的距离为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，设MN是直线A₁C₁与AB₁的公垂线，求出向量的坐标，即可得出结论．

解答 解：如图，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（0，0，-1）．
设MN是直线A₁C₁与AB₁的公垂线，且$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，λ，λ），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=μ$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-μ，μ，0），
则$\overrightarrow{MN}$=-（-μ，μ，0）+（0，0，-1）+（0，λ，λ）=（μ，λ-μ，λ-1）．
从而有$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ=0}\\{2λ-μ=1}\end{array}\right.$，∴λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{1}{3}$．
∴$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$）
∴$|\overrightarrow{MN}|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，正确运用向量是关键．