Question

函数f(x)=mlnx-x-

2

x

+1在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值范围为

[

7

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：先求导函数，要使函数f(x)=mlnx-x-

2

x

+1在[2，4]上是增函数，则-x²+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，故可建立不等式，解之即可求得m的取值范围．

解答：解：求导函数f′(x)=

-x2+mx+2

x2

要使函数f(x)=mlnx-x-

2

x

+1在[2，4]上是增函数，则-x²+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，
构建函数g（x）=-x²+mx+2，因为函数图象恒过点（0，2），所以-x²+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，只需m＞x-

2

x

根据函数的单调递增，解得m≥

7

2

，
即所求m的范围为[

7

2

，+∞)
故答案为：[

7

2

，+∞)

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，将问题转化为-x²+mx+2≥0在[2，4]上恒成立．