Question

一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，G，H分别为AE，CE中点．
（1）试问：这个多面体是几多面体（不必证明）？
（2）求证：GH∥平面ACF；
（3）当平面ACE⊥平面ACF时，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）直接数出多面体的面的个数即可；              
（2）连接AC，在△ACE中，根据中位线定理可知GH∥AC，又AC?平面ACF，且GH?平面ACF，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得结论；
（3）连接DB，交AC于O，连接EO，FO，根据ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，则Rt△ADE≌Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，而EO?平面ACE，AC?平面ACF，AC∩OF=O，只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，设DE的长为x，在Rt△ODE中，求出OE，在Rt△OBF中，求出OF，在直角三角形OEF中利用勾股定理建立等式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）是7多面体；                    （4分）
（2）证明：如图，连接AC，在△ACE中，
∵G，H分别为AE，CE中点，∴GH∥AC（6分）
又AC?平面ACF，且GH?平面ACF，（8分）
所以GH∥平面ACF； （9分）
（3）解：如图，连接DB，交AC于O，连接EO，FO，
∵ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，
∴Rt△ADE≌Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，
∵EO?平面ACE，AC?平面ACF，AC∩OF=O，
∴只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，（10分）
设DE的长为x，在Rt△ODE中，OE2=x2+

1

2

a2，
在Rt△OBF中，OF2=a2+

1

2

a2=

3

2

a2，EF²=2a²+（x-a）²EF²=OE²+OF²，解得x=

1

2

a
即平面ACE⊥平面ACF时，DE的长为

1

2

a（15分）
（如求二面角E-AC-E的平面角也可相应得分，但不提倡）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于中档题．