Question

14．已知|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=1，（2$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=9．
（1）求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ；
（2）求|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|和cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$＞的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的公式进行转化求解即可．
（2）根据向量模长公式以及向量数量积的关系进行转化求解．

解答 解：（1）因为$|\overrightarrow a|=2，|\overrightarrow b|=1，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=9$，
所以$4{\overrightarrow a^2}-4\overrightarrow a•\overrightarrow b-3{\overrightarrow b^2}=9$，即16-8cosθ-3=9，
得$cosθ=\frac{1}{2}$，
因为θ∈[0，π]，所以$θ=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）得知$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cosθ=2×1×\frac{1}{2}=1$，
所以$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b}=\sqrt{4+1+2}=\sqrt{7}$，）
因为$\overrightarrow a•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow b=4+1=5$，
所以$cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow a+\overrightarrow b＞=\frac{\overrightarrow a•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}{|\overrightarrow a|•|\overrightarrow a+\overrightarrow b|}=\frac{5}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的公式建立方程公式是解决本题的关键．