题目内容

已知
OA
=（4，0），
0B
=（2，2
3
），
OC
=（1-λ）
OA
+λ
OB
（λ2≠λ）
（1）证明A，B，C三点共线，并在
AB
=
BC
时，λ的值；
（2）求|
OC
|的最小值．
考点：向量的模
专题：平面向量及应用
分析：（1）由向量的加减运算化简
OC
=（1-λ）
OA
+λ
OB
得
AC
=λ
AB
，即可证明A，B，C三点共线，再由向量相等、向量的坐标运算求出λ的值；
（2）先由坐标运算求出
OC
的坐标，代入向量模的公式配方后，利用二次函数的性质求出|
OC
|的最小值．
解答： 证明：（1）因为
OC
=（1-λ）
OA
+λ
OB
=
OA
-λ
OA
+λ
OB
，
所以
OC
-
OA
=λ（
OB
-
OA
），则
AC
=λ
AB
，
所以A，B，C三点共线，
由
OA
=（4，0），
0B
=（2，2
3
），
OC
=（1-λ）
OA
+λ
OB
得，
AB
=（-2，2
3
），
BC
=
OC
-
0B
=（2-2λ，2
3
λ-2
3
），
因为
AB
=
BC
，所以
-2=2-2λ
2
3
=2
3
λ-2
3
，解得λ=2；
解：（2）因为
OC
=（1-λ）
OA
+λ
OB
=（1-λ）（4，0）+λ（2，2
3
）=（4-2λ，2
3
λ），
所以|
OC
|=
(4-2λ)2+12λ2
=4
λ2-λ+1
=4
(λ-
1
2
)2+
3
4
≥2
3
，
故|
OC
|的最小值是2
3
．
点评：本题考查利用向量共线的条件证明三点共线，由向量相等、向量的坐标运算、加减运算，以及向量模的最值问题，考查函数思想、方程思想，化简计算能力．
练习册系列答案
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16
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