Question

4．已知二面角α-l-β的平面角是60°，直线a⊥α，则直线a与平面β所成角的大小为30°．

Answer 1

分析 由题意画出图形，在直线a上取一点P，过P作PB⊥β，则PA、PB确定平面PAB，设平面PAB交直线l于点O，可得∠AOB为二面角的平面角等于60°，设a交β于C，可得B、O、C共线，P、B、C共面，得到∠PCB是PA与平面β所成的角，由三角形外角与不相邻内角的关系得答案．

解答 解：如图，直线a⊥α，垂足为A，
在直线a上取一点P，过P作PB⊥β，则PA、PB确定平面PAB，设平面PAB交直线l于点O，
∴l⊥平面PAO，则l⊥OA，l⊥OB，
∵二面角α-1-β的大小是60°，PA⊥α，PB⊥β，
∴∠AOB=60°，则∠APB=120°，
如图，设a交β于C，∴B、O、C共线，P、B、C共面，
∴∠PCB是PA与平面β所成的角，
∵∠APB=120°，∠PBC=90°，
∴∠PCB=30°．
即直线a与平面β所成角的大小为30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查线面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．