Question

13．已知$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，$\overrightarrow a$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{5}$且$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$，且$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）根据向量关系的坐标关系结合向量模长的公式进行求解即可．
（2）根据向量垂直建立方程关系，结合向量数量积的公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$=（1，2）．
∴设$\overrightarrow c$=m$\overrightarrow a$=（m，2m）．
若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{5}$，
则$\sqrt{{m}^{2}+4{m}^{2}}$=$\sqrt{5}$|m|=2$\sqrt{5}$，
则|m|=2，则m=±2，则$\overrightarrow c$=（2，4）或（-2，-4）；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$，且$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直，
则（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=0，
即2$\overrightarrow a$²-2$\overrightarrow b$²+3$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即2×5-2×10+3×$\sqrt{5}×\sqrt{10}$cosθ=0，
即cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ=arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，结合向量平行和向量垂直的关系建立方程是解决本题的关键．