Question

15．已知函数$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$．设l为曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线，其中x₀∈[-1，1]．
（Ⅰ）求直线l的方程（用x₀表示）；
（Ⅱ）设O为原点，直线x=1分别与直线l和x轴交于A，B两点，求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，确定切线斜率，即可求直线l的方程（用x₀表示）；
（Ⅱ）表示三角形面积，利用导数确定函数的单调性，即可求△AOB的面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）对f（x）求导数，得f'（x）=e^x-x，[（1分）]
所以切线l的斜率为$f'（{x_0}）={e^{x_0}}-{x_0}$，[（2分）]
由此得切线l的方程为：$y-（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}x_0^2）=（{e^{x_0}}-{x_0}）（x-{x_0}）$，
即$y=（{e^{x_0}}-{x_0}）x+（1-{x_0}）{e^{x_0}}+\frac{1}{2}x_0^2$．[（4分）]
（Ⅱ）依题意，切线方程中令x=1，
得 $y=（{e^{x_0}}-{x_0}）+（1-{x_0}）{e^{x_0}}+\frac{1}{2}x_0^2=（2-{x_0}）（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}）$．[（5分）]
所以 A（1，y），B（1，0）．
所以 ${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OB|•|y|$=$\frac{1}{2}|（2-{x_0}）（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}）|$=$|（1-\frac{1}{2}{x_0}）（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}）|$，x₀∈[-1，1]．[（7分）]
设 $g（x）=（1-\frac{1}{2}x）（{e^x}-\frac{1}{2}x）$，x∈[-1，1]．[（8分）]
则 $g'（x）=-\frac{1}{2}（{e^x}-\frac{1}{2}x）+（1-\frac{1}{2}x）（{e^x}-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{2}（x-1）（{e^x}-1）$．[（10分）]
令 g'（x）=0，得x=0或x=1．g（x），g'（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
g'（x）		-	0	+
g（x）	$\frac{3}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{e}）$	↘	1	↗	$\frac{1}{2}（e-\frac{1}{2}）$

所以 g（x）在（-1，0）单调递减；在（0，1）单调递增，[（12分）]
所以 g（x）_min=g（0）=1，
从而△AOB的面积的最小值为1．[（13分）]

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．