Question

20．如图，圆O是△ABC的外接圆，点D是劣弧$\widehat{BC}$的中点，连结AD并延长，与以C为切点的切线交于点P，求证：$\frac{PC}{PA}=\frac{BD}{AC}$．

Answer 1

分析 如图，连结CD，构建相似三角形：△PCD～△PAC，利用该相似三角形的对应边成比例和圆心角、弧、弦间的关系证得结论即可．

解答 证明：连结CD，因为CP为圆O的切线，
所以∠PCD=∠PAC，
又∠P是公共角，所以△PCD～△PAC，
所以$\frac{PC}{PA}=\frac{CD}{AC}$，
因为点D是劣弧BC的中点，所以CD=BD，即$\frac{PC}{PA}=\frac{BD}{AC}$．

点评 本题考查了圆周角定理．根据题意作出辅助线是解题的关键，难度一般．