Question

如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．

Answer 1

分析：要证MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN．现∠A=∠C，故可证△AMQ∽△CPN．于是要证明AM：AQ=CP：CN．

解答：证明：设∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．则
由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=

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（180°-2β）=90°-β；
同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．
而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，
∵∠A=∠C
∴∠OCN=∠MAO
∴△CON∽△AMO，
∴AM：AO=CO：CN，即AM•CN=AO²．
同理，AQ•CP=AO²，∴AM•CN=AQ•CP．
∴△AMQ∽△CPN，∴∠AMQ=∠CPN．
∴MQ∥NP．

点评：本题考查菱形的内切圆，考查三角形的相似，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．