Question

14．已知函数f（x）=ax²-x+3lnx，x=1是函数f（x）的一个极值点．
（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若仅存在一个整数x₀，使得f（x₀）-kx₀-k＞0成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（1）=2a-1+3=0，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为若仅存在一个整数x₀，使得f（x₀）＞k（x₀+1）＞0成立，令g（x）=k（x+1），则直线g（x）恒过（-1，0），得到$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞g（1）}\\{f（2）＜g（2）}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-x+3lnx，x＞0，
f′（x）=2ax-1+$\frac{3}{x}$，
若x=1是函数f（x）的一个极值点，
则f′（1）=2a-1+3=0，解得：a=-1，
∴f（x）=3lnx-x²-x，
f′（x）=$\frac{3}{x}$-2x-1=$\frac{-{2x}^{2}-x+3}{x}$=-$\frac{（2x+3）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）若仅存在一个整数x₀，使得f（x₀）-kx₀-k＞0成立，
即若仅存在一个整数x₀，使得f（x₀）＞k（x₀+1）＞0成立，
令g（x）=k（x+1），则直线g（x）恒过（-1，0），
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞g（1）}\\{f（2）＜g（2）}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-2＞k（1+1）}\\{3ln2-4-2＜k（2+1）}\end{array}\right.$，
解得：-2+ln2＜k＜-1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．