Question

8．某餐厅供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜，用A_n、B_n分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出A_n与A_n-1的关系及B_n与B_n-1的关系．

Answer 1

分析 根据在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，结合A_n+B_n=1000，进而可知A_n=$\frac{1}{2}$A_n-1+300，利用总共1000人计算可知B_n=$\frac{1}{2}$B_n-1+200．

解答 解：依题意，A_n+1=A_n（1-20%）+30%B_n，
又∵A_n+B_n=1000，
∴A_n+1=$\frac{1}{2}$A_n+300，
故当n≥2时，A_n=$\frac{1}{2}$A_n-1+300；
∴1000-B_n=$\frac{1}{2}$（1000-B_n-1）+300，
整理得：B_n=$\frac{1}{2}$B_n-1+200．

点评 本题考查数列的应用，考查求数列的通项，解题的关键是确定数列递推式，注意解题方法的积累，属于中档题．