Question

如果我们把体积和表面积数值相等的几何体叫做标准几何体，那么在正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆直径的圆柱）、球三种几何体中有无这样的标准几何体？

Answer 1

分析：分别设出正方体的棱长，等边圆柱的底面半径，球的半径，分别计算出其表面积和体积，根据标准几何体构造方程，根据方程是否有解可得答案．

解答：解：设正方体的棱长为a，
则其体积V=a³，表面积S=6a²，
若a³=6a²，解得a=6
故正方体的棱长为6时为标准几何体；
设等边圆柱的底面半径为a，
则其母线长为2a，其其体积V=2πa³，表面积S=6πa²，
若2πa³=6πa²，解得a=3
故等边圆柱的底面半径为3时为标准几何体；
设球的半径为a，
则其体积V=

4π

3

a³，表面积S=4πa²，
若

4π

3

a³=4πa²，解得a=3
故球半径为3时为标准几何体
综上正方体的棱长为6时为标准几何体；等边圆柱的底面半径为3时为标准几何体；球半径为3时为标准几何体．

点评：本题考查的知识点是棱柱、圆柱和球的体积和表面积公式，正确理解标准几何体的定义是解答的关键．