Question

6．求下列动点的轨迹方程：
（1）设圆C：（x-1）²+y²=1过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C，求轨迹C的方程．

Answer 1

分析 （1）注意到∠OPC=90°，动点P在以M（$\frac{1}{2}$，0）为圆心，OC为直径的圆上，故可以求出圆心与半径，写出圆的标准方程；
（2）设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程．

解答 解：（1）∵∠OPC=90°，动点P在以M（$\frac{1}{2}$，0）为圆心，OC为直径的圆上，
∴所求点的轨迹方程为：（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=1（0＜x≤1）；
（2）设动点M的坐标为（x，y），
由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x|+1；
化简得y²=4x（x≥0）或y=0（x≤0），
∴点M的轨迹C的方程为y=4x（x≥0）或y=0（x＜0）．

点评 本题考查轨迹方程，考查了学生数形结合的思想和分析推理能力，是中档题．