Question

如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点．

（1）证明：直线平面；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值．

 

 

Answer 1

（1）见解析；（2）3．（3）

【解析】

试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量平行；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．

试题解析：

（1）连结QM 因为点，，分别是线段，，的中点

所以,

所以 平面, 平面

因为,所以平面∥平面 ,平面

所以∥平面

（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为

二面角的平面角, 令

即QM=AM=1所以

此时 ，MH= ，记二面角的平面角为

则tan=，所以COS=即为所求．

方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设

则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p（0,2,2）,Q（0,1,1）,

=（0,-1,1）,

记，则

取

又平面ANM的一个法向量，所以cos=

即为所求．

考点：空间几何体的线面平行以及二面角．