题目内容
1．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx$，（其中常数a∈R）．（1）若f（x）在x=1时取得极值，求a的值．
（2）若a=2，求f（x）的单调区间．
分析 （1）若f（x）在x=1时取得极值，则f′（1）=0，根据已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，代入即可构造关于a的方程，解方程即可得到答案．
（2）求出导函数的解析式，解关于导函数的不等式，即可确定f（x）的单调区间；
解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵f′（1）=0，解得：a=1；
（2）a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}$x2-2lnx，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$）递减，在（$\sqrt{2}$，+∞）递增．
点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性问题，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
11．若函数$y=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x$的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围为（ ）
| A． | $[{-\frac{10}{3}，\frac{7}{6}}]$ | B． | $（{-\frac{10}{3}，\frac{7}{6}}）$ | C． | $[{\frac{7}{6}，+∞}）$ | D． | $（{-\frac{11}{6}，\frac{7}{6}}）$ |
16．已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则一定成立的是（ ）
| A． | f（cosA）＜f（cosB） | B． | f（sinA）＜f（cosB） | C． | f（sinA）＞f（cosB） | D． | f（sinA）＞f（sinB） |