Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b∈R）若函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，
（1）求a，b的值．
（2）若x∈[0，1]，f（x）≤c²-2恒成立时，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到0，2是方程3x²+2ax+b=0的根，代入方程解出a，b的值即可；（2）求出f（x）在[0，1]的最小值，问题转化为f（1）≤c²-2，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，
函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，
∴0，2是方程3x²+2ax+b=0的根，
把x=0，2代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{12+4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=0；
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²+c，
f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴函数f（x）在[0，1]递减，
∴f（x）_max=f（0）=c，
若x∈[0，1]，f（x）≤c²-2恒成立，
∴f（0）≤c²-2，∴c²-2≥c，
即c²-c-2≥0，解得：c≥2或c≤-1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．