Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），离心率e=

2

（Ⅰ）求双曲线的标准方程
（Ⅱ）点P是双曲线上一点，且∠F₁PF₂=30°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），离心率e=

2

，求出a，b，c，进而可得方程；
（Ⅱ）由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=2

2

，由余弦定理可得16=8+（2-

3

）|PF₁||PF₂|，解得|PF₁||PF₂|=8（2-

3

），代入面积公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）因为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），离心率e=

2

，
所以c=2，a=

2

，
所以b=

2

，
所以所求双曲线方程为x²-y²=2；
（Ⅱ）由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=2

2

，
由余弦定理可得16=8+（2-

3

）|PF₁||PF₂|，解得|PF₁||PF₂|=8（2-

3

）
∴S=

1

2

×8（2-

3

）×

1

2

=2（2-

3

）．

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．