Question

17．已知函数f（x）=$2sin（4x+ϕ）（0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的图象经过点（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求f（$\frac{19π}{12}$）的值；
（2）若$f（\frac{1}{4}α-\frac{π}{12}）=\frac{2}{3}$，$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$f（\frac{1}{4}β-\frac{5π}{24}）=\frac{{2\sqrt{10}}}{10}$；β是第三象限角，求cos（α-β）的值；
（3）在（2）的条件下，求$\sqrt{tan\frac{α}{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）=$2sin（4x+ϕ）（0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的图象经过点（0，$\sqrt{3}$），求得φ的值，从而利用诱导公式求得f（$\frac{19π}{12}$）的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得α、β的正弦、余弦值，利用两角和差的三角公式求得cos（α-β）的值．
（3）利用二倍角公式求得tan$\frac{α}{2}$ 的值，可得$\sqrt{tan\frac{α}{2}}$ 的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$2sin（4x+ϕ）（0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的图象经过点（0，$\sqrt{3}$），
∴f（0）=$2sin（0+ϕ）=2sinϕ=\sqrt{3}$，$sinϕ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又$0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，故$ϕ=\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴f（$\frac{19π}{12}$）=$2sin（4×\frac{19π}{12}+\frac{π}{3}）=2sin\frac{20π}{3}=2sin（6π+\frac{2π}{3}）=2sin\frac{2π}{3}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
（2）∵$f（\frac{1}{4}α-\frac{π}{12}）=\frac{2}{3}$=2sinα，∴sinα=$\frac{1}{3}$，
∵$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵$f（\frac{1}{4}β-\frac{5π}{24}）=\frac{{2\sqrt{10}}}{10}$=2sin（β-$\frac{π}{2}$）=-2cosβ，∴cosβ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
又β是第三象限角，∴sinβ=-$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）+$\frac{1}{3}$•（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{4\sqrt{5}-3\sqrt{10}}{30}$．
（3）在（2）的条件下，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$•$\frac{2sin\frac{α}{2}}{2sin\frac{α}{2}}$=$\frac{1-cosα}{sinα}$=$\frac{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}$=3+2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{tan\frac{α}{2}}$=$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于中档题．