已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.且过点(1.$\frac{\sqrt{3}}{2}$)．(Ⅰ)求E的方程,(Ⅱ)是否存在直线l:y=kx+m相交于P.Q两点.且满足:①OP与OQ的斜率之和为2,②直线l与圆x2+y2=1相切．若存在.求出l的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+m相交于P，Q两点，且满足：①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x²+y²=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a²=4b²，将点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，求得m²+k=1，由$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{1-k≥0}\end{array}\right.$，即可求得k的取值范围，由点到直线的距离即可求得k和m的值，求得直线l的方程．

解答解：（Ⅰ）依题意，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则a²=4b²，
由椭圆过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得：a²=4，b²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
由x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
由k_OP+k_OQ=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{1}+{y}_{2}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）{x}_{2}+（k{x}_{2}+m）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2，
2（k-1）x₁x₂+m（x₁+x₂）=0，
∴2（k-1）×$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+m×（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）=0，
整理得：m²+k=1，
由△=16（4k²-m²+1）=16（4k²+k），
$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}+k＞0}\\{{m}^{2}=1-k≥0}\end{array}\right.$，解得：k＜-$\frac{1}{k}$，或0＜k≤1，
直线与圆x²+y²=1相切，则$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
联立解得k=0（舍去），k=-1，
∴m²=2，即m=±$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程y=x±$\sqrt{2}$．