Question

2．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是∠A=90°的直角三角形，且AB=1，BB₁=2，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求异面直线AC₁与B₁C所成角；
（2）求点B到平面AB₁C的距离；
（3）求二面角B-B₁C-A的大小．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，求出直线对应的斜率，利用向量法即可求异面直线AC₁与B₁C所成角；
（2）求出平面的法向量，利用向量法结合点到平面的距离公式即可求点B到平面AB₁C的距离；
（3）求出两个平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-B₁C-A的大小．

解答 解：建立以A为坐标原点，AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵直线B₁C与平面ABC成30°角．
∴∠B₁CB=30°，
∵BB₁=2，∴B₁C=4，BC=2$\sqrt{3}$，
∵AB=1，∴AC=$\sqrt{11}$，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{11}$，0），B₁（1，0，2），A₁（0，0，2），C₁（0，$\sqrt{11}$，2），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，$\sqrt{11}$，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，$\sqrt{11}$，2），则$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=11+4=15，
AC₁=$\sqrt{15}$，B₁C=4，
则cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}||\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{15}{\sqrt{15}×4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
即＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=arccos$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
即异面直线AC₁与B₁C所成角是arccos$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（2）设平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{11}$，0），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=x+2z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{11}$y=0，
则y=0，令z=1，则x=-2，即$\overrightarrow{m}$=（-2，0，1），
$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），
则点B到平面AB₁C的距离d=$\frac{|\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{4+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）由（2）知平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（-2，0，1），
设平面BB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{11}$，0），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=2z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=-x+$\sqrt{11}$y=0，
则z=0，令y=1，则x=$\sqrt{11}$，
$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{11}$，1，0），
则$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{11}}{\sqrt{11+1}•\sqrt{4+1}}$=-$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{165}}{30}$，
∵二面角B-B₁C-A是锐二面角，
∴二面角B-B₁C-A的余弦值为$\frac{\sqrt{165}}{30}$，
即二面角的大小为arccos$\frac{\sqrt{165}}{30}$．

点评 本题主要考查空间角和距离的计算，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法解集异面直线所成的角，以及二面角，点到平面的距离是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．