Question

10．已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点A（0，2），点B是轨迹C上一动点，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出P（x，y），可得向量$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{NP}$的坐标，根据$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，利用数量积公式和两点间的距离公式建立关于x，y的方程，化简即可得到动点P的轨迹方程；
（2）根据题意，设出点B的坐标，利用两点间的距离公式写出|AB|²的表达式，求出它的最值即可．

解答 解：（1）设动点P（x，y），$\overrightarrow{MP}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MN}$=（-3，0），$\overrightarrow{NP}$=（x-1，y），
由$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{NP}$|，得-3（x-4）=6$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，平方化简得3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴动点P的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）根据题意，设B（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），α∈[0，2π），
则|AB|²=（2cosα）²+（$\sqrt{3}$sinα-2）²
=4cos²α+3sin²α-$4\sqrt{3}$sinα+4
=4-sin²α-$4\sqrt{3}$sinα+4
=20-（sinα+$2\sqrt{3}$）²；
∴当sinα+$2\sqrt{3}$=0，即sinα=-$2\sqrt{3}$时，|AB|取得最大值是|AB|_max=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了轨迹方程，考查了平面数量积的运算，考查了圆锥曲线的定义域性质的应用问题，解题时应用椭圆的参数方程进行解答，容易解得答案，是中档题．